AcWing_25_剪绳子

题目

给你一根长度为 n 绳子，请把绳子剪成 m 段（m、n 都是整数，2≤n≤58 并且 m≥2）。

每段的绳子的长度记为 k[1]、k[2]、……、k[m]。

k[1]k[2]…k[m] 可能的最大乘积是多少？

例如当绳子的长度是 8 时，我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段，此时得到最大的乘积 18。

示例

示例1

输入：8
输出：18

代码

解法：数学(每段的长度只有 2 和 3)

class Solution {
public:

    int maxProductAfterCutting(int n) {
        if(n <= 3) return n-1;
        int res = 0;
        if(n % 3 == 0) return pow(3,n/3);
        if(n % 3 == 1) return pow(3,n/3-1)*2*2;
        if(n % 3 == 2) return pow(3,n/3)*2;
        return res;
    }
};

证明：首先把一个正整数 N 拆分成若干正整数只有有限种拆法，所以存在最大乘积。
假设 N=n1+n2+…+nk，并且 n1×n2×…×nk 是最大乘积。

显然 1 不会出现在其中，1 的存在并不会让乘积变得更大；
如果对于某个 i 有 ni ≥ 5，那么把 ni 拆分成 3+(ni−3)，我们有 3(ni−3) = 3ni−9 > ni => 2ni > 9；
如果 ni=4，拆成 2+2乘积不变，所以不妨假设没有4；
如果有三个以上的2，那么 3×3 > 2×2×2 ，所以替换成3乘积更大；

综上，选用尽量多的3，直到剩下2或者4时，用2。

代码分析：

if(n <= 3) return n-1;

小于等于 3 的情况单独讨论；如果长度为 2 ，每段就是 1；如果长度为 3 ，一段是 1，一段是 2.

if(n % 3 == 0) return pow(3,n/3);

正好能整除，就全用 3

if(n % 3 == 1) return pow(3,n/3-1)*2*2;

余一个 1，就拿出一个 3 来跟这个 1 构成 2×2，因为 2×2 > 1×3。相当于把这个“无用”的 1 利用起来。

if(n % 3 == 2) return pow(3,n/3)*2;

余一个 2,不用凑，直接乘。

y总代码

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if (n <= 3) return 1 * (n - 1);
        int res = 1;
        if (n % 3 == 1) res = 4, n -= 4;
        else if (n % 3 == 2) res = 2, n -= 2;
        while (n) res *= 3, n -= 3;
        return res;
    }
};

题目：剪绳子